René Guénon, Capitolul I. Infinit şi indefinit (Principiile calculului infinitezimal)

Procedând cumva în sens invers decât ştiinţa profană, suntem obligaţi, urmând punctul de vedere constant al oricărei ştiinţe tradiţionale, să enunţăm aici înainte de orice principiul care ne va permite să rezolvăm în cele ce urmează, într-un mod aproape imediat, dificultăţile prilejuite de metoda infinitezimală, fără să ne lăsăm rătăciţi în discuţii care altfel ar risca să fie interminabile, aşa cum sunt într-adevăr pentru filosofii şi matematicienii moderni, care, prin însuşi faptul că acest principiu le lipseşte, nu au ajuns niciodată la o soluţie satisfăcătoare şi definitivă a acestor dificultăţi. Acest principiu este ideea însăşi de Infinit înţeleasă în singurul său veritabil, care este sensul pur metafizic, şi nu avem decât să amintim, în privinţa acestui subiect, ceea ce am expus mai complet în altă parte [1]: Infinitul este propriu-zis ceea ce nu are limite, căci finitul este în mod evident sinonim cu limitat. Nu se poate deci aplica fără abuz acest cuvânt la altceva decât la ceea ce nu are absolut nicio limită, adică la Totul universal care include în sine toate posibilităţile, şi care, prin urmare, nu ar putea în niciun fel să fie limitat prin ceva anume. Infinitul, astfel înţeles, este metafizic şi logic necesar, căci nu numai nu poate implica nicio contradicţie, neînchizând în sine nimic negativ, dar dimpotrivă negaţia lui ar fi contradictorie. În plus, nu poate în mod evident exista decât un singur Infinit, căci două infinituri presupus distincte s-ar limita unul pe celălalt, deci s-ar exclude în mod implicit. În consecinţă, de fiecare dată când cuvântul “infinit” este folosit în alt sens decât în cel pe care tocmai l-am enunţat, putem fi siguri a priori că această utilizare este în mod necesar abuzivă, căci revine până la urmă fie la a ignora pur şi simplu Infinitul metafizic, fie la a presupune alături de el un alt infinit.

Este adevărat că scolasticii admiteau ceea ce ei numeau infinitum secundum quid, pe care-l distingeau cu grijă de infinitum absolutum care singur este Infinitul metafizic. Dar noi nu putem vedea aici decât o imperfecţiune a terminologiei lor, căci, dacă această distincţie le permitea să scape contradicţiei unei pluralităţi de infinituri înţelese în sens propriu, nu este mai puţin sigur că această dublă utilizare a cuvântului infinitum risca să cauzeze multiple confuzii, şi că de altminteri unul dintre cele două sensuri pe care i le dădeau astfel era complet impropriu, căci a spune că un lucru este infinit doar dintr-un anume punct de vedere, ceea ce este semnificaţia exactă a expresiei infinitum secundum quid, revine la a spune că în realitate el nu este câtuşi de puţin infinit [2]. Într-adevăr, nu ajunge ca un lucru să nu fie limitat într-un anume sens sau dintr-un anume punct de vedere pentru ca să se poată concluziona de aici în mod legitim că acest lucru ar fi cu adevărat infinit. Nu numai că poate fi în acelaşi timp limitat din alte puncte de vedere, dar chiar putem spune că este limitat în mod necesar, din momentul în care este un lucru determinat, şi care, prin însăşi determinarea sa, nu include orice posibilitate, căci aceasta revine la a spune că este limitat prin ceea ce lasă în afara sa. Dacă dimpotrivă Totul universal este infinit, îşi datorează calitatea faptului că nu lasă nimic în afara lui [3]. Orice determinare, oricât de generală ar putea fi presupusă de altfel, şi orice extensie ar putea primi, este deci în mod necesar exclusivă în raport cu adevărata noţiune de infinit [4]. O determinare, oricare ar fi ea, este întotdeauna o limitare, pentru că are drept caracter esenţial definirea unui anume domeniu de posibilităţi în raport cu tot restul, şi excluzând acest rest prin aceasta însăşi. Astfel, este un veritabil non-sens să se aplice ideea de infinit unei determinări oarecare, de exemplu, în cazul pe care îl luăm în calcul aici îndeosebi, la cantitate sau la unul sau altul dintre modalităţile ei. Ideea unui “infinit determinat” este prea clar contradictorie pentru ca să trebuiască să se insiste mai mult asupra ei, deşi această contradicţie a scăpat cel mai adesea gândirii profane a modernilor, şi chiar cei care ar putea fi numiţi “semi-profani”, ca Leibnitz, n-au ştiut să-şi dea seama prea bine [5]. Pentru a sublinia mai bine aceasta contradicţie, am putea spune, cu alte cuvinte care sunt echivalente în fond, că este în mod clar absurd să vrem să definim Infinitul, pentru că o definiţie nu este altceva într-adevăr decât expresia unei determinări, şi cuvintele însele spun destul de clar că ceea ce este susceptibil să fie definit nu poate fi decât finit sau limitat. A se căuta introducerea Infinitului într-o formulă, sau, dacă cineva preferă, a-l îmbrăca într-o formă oricare ar fi ea, e totuna cu a încerca, în mod conştient sau inconştient, introducerea Totului universal într-unul dintre elementele cele mai infime care sunt cuprinse în el, ceea ce, în mod sigur, este cea mai evidentă dintre imposibilităţi.

Ceea ce tocmai am spus este suficient pentru a se stabili, fără a rămâne loc pentru cel mai mic dintre dubii, şi fără să fie nevoie să se intre în nicio altă consideraţie, că nu poate exista infinit matematic sau cantitativ, că această expresie nu are nici măcar un sens, pentru că cantitatea însăşi este o determinare. Numărul, spaţiul, timpul la care se doreşte aplicarea acestui pretins infinit, sunt condiţii determinate, şi care, ca atare, nu pot fi decât finite. Acestea sunt anumite posibilităţi, sau anumite ansambluri de posibilităţi, alături şi în afara cărora există altele, ceea ce implică limitarea lor. Mai există în acest caz ceva în plus: a concepe Infinitul din punct de vedere cantitativ, nu este numai a-l limita, dar încă, pe deasupra, a-l concepe ca fiind susceptibil de creştere sau de diminuare, ceea ce nu este mai puţin absurd. Cu asemenea consideraţii, se ajunge repede la imaginarea nu numai a mai multor infinituri care coexistă fără să se confunde sau să se excludă, dar şi infinituri care sunt mai mari sau mai mici decât alte infinituri, şi chiar, infinitul devenind atât de relativ în aceste condiţii nu mai este suficient, se inventează “transfinitul”, adică domeniul cantităţilor mai mari decât infinitul. În acest caz este vorba despre “invenţie” în mod clar, căci asemenea concepţii nu ar putea corespunde niciunei realităţi. Pe câte cuvinte pe atâtea absurdităţi, chiar din punctul de vedere al simplei logici elementare, ceea ce nu împiedică faptul că, printre cei care le susţin, se găsesc unii care au pretenţia de a fi “specialişti” în logică, atât de mare este confuzia intelectuală a epocii noastre!

Trebuie să atragem atenţia că am spus adineaori, nu numai “a concep un infinit cantitativ”, ci “a concepe Infinitul din punct de vedere cantitativ”, şi aceasta cere câteva cuvinte explicative. Am vrut, în acest fel, să facem îndeosebi aluzie la cei care, în jargonul filosofic contemporan, se numesc “infinitişti”. Într-adevăr, toate discuţiile între “finitişti” şi “infinitişti” arată cu claritate că şi unii şi ceilalţi au cel puţin în comun ideea complet falsă că Infinitul metafizic este solidar cu infinitul matematic, atunci când nu le identifică pur şi simplu [6]. Toţi ignoră deci în mod egal principiile cele mai elementare ale metafizicii, pentru că dimpotrivă doar concepţia însăşi a adevăratului Infinit metafizic permite respingerea într-un mod absolut a oricărui “infinit particular”, dacă se poate spune aşa, precum pretinsul infinit cantitativ, şi certitudinea automată că, oriunde va fi întâlnit, nu poate fi decât o iluzie, referitor la care va fi doar prilej de întrebare ce anume i-a putut da naştere, în scopul de a i se putea substitui o altă noţiune mai conformă adevărului. În cele din urmă, de fiecare dată când este vorba despre un lucru anume, de o posibilitate determinată, suntem prin aceasta însăşi siguri a priori că este limitat, şi, putem spune, limitat prin însăşi natura sa, şi acest lucru rămâne la fel de adevărat în cazul în care, dintr-un motiv oarecare, nu-i putem acum atinge limitele. Dar tocmai imposibilitatea de a atinge limitele anumitor lucruri, şi chiar uneori de a le concepe cu claritate, cauzează, cel puţin în cazul celor lipsiţi de principiul metafizic, iluzia că aceste lucruri nu au limite, şi, s-o mai spunem o dată, această iluzie, şi nimic altceva, se formulează în afirmaţie contradictorie a unui “infinit determinat”.

Aici intervine, pentru a rectifica această noţiune falsă, sau mai degrabă pentru a o înlocui cu o concepţie adevărată a lucrurilor [7], ideea de indefinit, care este tocmai ideea unei dezvoltări a posibilităţilor căreia nu-i putem atinge acum limitele. Şi din această cauză privim ca fiind fundamentală, în toate chestiunile în care apare pretinsul infinit matematic, distincţia dintre Infinit şi indefinit. Fără îndoială la aceasta răspundea, în intenţia autorilor săi, distincţia scolastică dintre infinitum absolutum şi infinitum secundum quid. Este desigur supărător că Leibnitz, care totuşi a făcut atâtea împrumuturi de la scolastici, a neglijat-o sau a ignorat-o pe aceasta, căci, oricât de imperfectă ar fi fost forma sub care era exprimată, ar fi putut să-i servească la respingerea destul de facilă a anumitor obiecţii ridicate împotriva metodei sale. Dimpotrivă, se pare realmente că Descartes încercase să stabilească distincţia despre care este vorba, dar e foarte departe de a o fi exprimat şi chiar conceput cu o precizie suficientă, pentru că, după el, indefinitul este ceva căruia nu-i vedem limitele, şi care ar putea în realitate să fie infinit, deşi nu putem să afirmăm că este aşa, în timp ce adevărul este că putem dimpotrivă să afirmăm că nu este aşa, şi nu este câtuşi de puţin nevoie să-i vedem limitele pentru a fi siguri că ele există. Se vede deci cât de vag şi încâlcit este aceasta, în continuare din cauza aceluiaşi defect de principiu. Descartes spune într-adevăr: “Şi pentru noi, văzând nişte lucruri în care, după anumite simţuri [8], nu remarcăm deloc limite, nu vom asigura pe această bază că ele sunt infinite, car le vom considera doar indefinite.” [9] Şi dă astfel ca exemple întinderea şi divizibilitatea corpurilor. Nu asigură că aceste lucruri ar fi infinite, dar totuşi nu pare nici să vrea să nege formal acest lucru, cu atât mai mult cu cât tocmai declară că nu vrea “să se încurce în disputele infinitului”, ceea ce este o metodă puţin prea simplă de a îndepărta dificultăţile, şi deşi spune puţin mai încolo că “deşi remarcăm aici nişte proprietăţi care ne par că nu au deloc limite, noi cunoaştem că aceasta provine din limitarea înţelegerii noastre, şi câtuşi de puţin din natura lor.” [10] Într-adevăr, el vrea, cu bun motiv, să rezerve numele de infinit pentru ceea ce nu poate avea nicio limită. Dar, pe de altă parte, pare să nu ştie, cu certitudinea absolută pe care o implică orice cunoaştere metafizică, că ceea ce nu are nicio limită nu poate fi nimic altceva decât Totul universal, şi, pe de altă parte, noţiunea însăşi de indefinit are nevoie să fie precizată mult mai mult decât o face el. Dacă ar fi fost sigur, un mare număr de confuzii ulterioare nu s-ar fi produs atât de uşor [11].

Noi spunem că indefinitul nu poate fi infinit, pentru că conceptul său comportă întotdeauna o anume determinare, fie că este vorba despre întindere, despre durată, despre divizibilitate, sau de orice altă posibilitate. Într-un cuvânt, indefinitul, oricare ar fi şi din ce punct de vedere ar fi înfăţişat, este tot finit şi nu poate fi decât finit. Fără îndoială, limitele sale sunt îndepărtate într-atâta încât se găsesc în afara atingerii noastre, cel puţin atât cât încercăm noi să le atingem într-un anume fel pe care putem să-l numim “analitic”, aşa cum vom explica mai complet în cele ce urmează. Dar ele nu sunt câtuşi de puţin suprimate prin aceasta, şi, în orice caz, dacă limitările de un anume fel pot fi suprimate, subzistă altele, care ţin de natura însăşi a ceea ce se ia în consideraţie, căci în virtutea naturii sale, şi nu doar a vreunei circumstanţe mai mult sau mai puţin exterioare şi accidentale, orice lucru anume este finit, indiferent care ar fi nivelul la care poate fi împinsă efectiv extensia de care este susceptibil. Se poate remarca în această privinţă că semnul ∞, prin care matematicienii reprezintă pretinsul lor infinit, este el însuşi o figură închisă, deci în mod vizibil finită, la fel de bine ca şi cercul din care unii au vrut să facă un simbol al eternităţii, în vreme ce el nu poate fi decât figurarea unui ciclu temporal, indefinit doar la nivelul său, adică al ceea ce se numeşte propriu-zis perpetuitate [12]. Şi este uşor de văzut că această confuzie între eternitate şi perpetuitate, atât de comună printre occidentalii moderni, se înrudeşte strâns cu cea dintre Infinit şi indefinit.

Pentru a se înţelege mai bine ideea de indefinit şi modul în care acesta se formează pornind de la finitul înţeles în accepţiunea sa obişnuită, se poate lua în calcul un exemplu aşa ca cel al şirului numerelor. În acesta, nu este evident niciodată posibil să ne oprim într-un punct anume, pentru că, după orice număr, există întotdeauna un altul care se obţine adăugându-i-se unitatea. În consecinţă, trebuie ca limitarea acestei suite indefinite să fie de alt nivel decât cea care se aplică unui ansamblu definit de numere, luat între două numere determinate oarecare. Trebuie deci să ţină cont nu de nişte proprietăţi deosebite ale unor anumite numere, ci de natura însăşi a numărului în toată generalitatea lui, adică de determinarea care, constituind în mod esenţial această natură, face concomitent ca numărul să fie ceea ce este şi să nu fie altceva. S-ar putea repeta exact aceeaşi observaţie dacă ar fi vorba, nu despre număr, ci despre spaţiu sau despre timp considerate în egală măsură în toată extensia de care sunt susceptibile [13]. Această extensie, oricât de indefinită ar fi concepută şi oricât ar fi în mod efectiv, nu va putea niciodată în niciun fel să ne facă să ieşim din finit. Într-adevăr, în vreme ce finitul presupune în mod necesar Infinitul, pentru că acesta este ceea ce cuprinde şi învăluie toate posibilităţile, indefinitul provine dimpotrivă din finit, în raport cu care nu este în realitate decât o dezvoltare, şi la care este, în consecinţă, întotdeauna reductibil, căci este evident că nu se poate obţine din finit, prin orice procedeu ar fi, nimic mai mult şi nimic altceva decât ceea ce este deja conţinut în el la nivel potenţial. Pentru a relua acelaşi exemplu al şirului numerelor, putem spune că acest şir, cu toată indefinitatea pe care o comportă, ne este dat prin legea formării sale, pentru că din această lege însăşi rezultă imediat indefinitatea sa. Or această lege constă în aceea că, fiind dat un număr oarecare, se va forma numărul următor adăugându-se o unitate. Şirul numerelor se formează deci prin adăugirile succesive ale unităţii la ea însăşi repetate indefinit, ceea ce, în fond, nu este decât extensia indefinită a procedeului de formare al unei sume aritmetice oarecare. Acest exemplu îşi datorează de altminteri claritatea deosebită caracterului discontinuu al cantităţii numerice. Dar, pentru a lua lucrurile într-un mod mai general şi aplicabil în taote cazurile, ar fi suficient, în această privinţă, să se insiste asupra ideii de “devenire” care este implicată în termenul “indefinit”, şi pe care am exprimat-o mai sus vorbind despre o dezvoltare de posibilităţi, dezvoltare care, în ea însăşi şi în tot cursul său, comportă întotdeauna o dimensiune a nedesăvârşirii [14]. Importanţa atenţiei acordate unor “variabile”, în ceea ce priveşte calculul infinitezimal, va fa acestui din urmă punct întreaga sa semnificaţie.

Note:

[1] Stările multiple ale fiinţei, capitolul I.

[2] Într-un sens destul de apropiat de acesta Spinoza folosi mai târziu expresia “infinit în felul său”, care dă naştere în mod natural aceloraşi obiecţii.

[3] Se mai poate spune că nu lasă în afara lui decât imposibilitatea, care, fiind pur neant, nu ar putea în niciun fel să-l limiteze.

[4] Acest lucru este adevărat şi în raport cu determinările de ordin universal, nu şi doar faţă de cele generale, inclusiv Fiinţa însăşi care este prima dintre toate determinările. Dar este de la sine înţeles că această consideraţie nu trebuie să intervină în aplicaţiile strict cosmologice cu care lucrăm în prezentul studiu.

[5] Dacă cineva este mirat de expresia “semi-profan” pe care o folosim aici, am spune că se poate justifica, într-un mod foarte precis, prin distincţia dintre iniţierea efectivă şi iniţierea strict virtuală, asupra căreia va trebui să ne explicăm cu o altă ocazie.

[6] Vom cita doar aici, ca exemplu caracteristic, cazul lui L. Couturat concluzând în teza sa De l’infini mathématique, în care s-a străduit să dovedească existenţa unui infinit în număr şi grandoare, declarând că intenţia sa a fost să arate prin aceasta că, “în ciuda neo-criticismului (adică a teoriilor lui Renouvier şi ale şcolii sale), o metafizică infinitistă este probabilă!”

[7] Trebuie, cu toată rigoarea logică, să se facă o distincţie între “falsă noţiune” (sau, dacă se doreşte, “pseudo-noţiune”) şi “noţiune falsă”. O “noţiune falsă” este cea care nu corespunde în mod adecvat realităţii, deşi îi corespunde totuşi într-o anume măsură. Dimpotrivă, o “falsă noţiune” este cea care implică o contradicţie, aşa cum este cazul aici, şi care astfel nu este în mod adevărat o noţiune, chiar falsă, deşi ea are aparenţa uneia pentru cei care nu zăresc contradicţia, căci, neexprimând decât imposibilul, care este acelaşi lucru ca şi neantul, ea nu corespunde în mod absolut la nimic. O “noţiune falsă” este susceptibilă să fie rectificată, dar o “falsă noţiune” nu poate fi decât respinsă pur şi simplu.

[8] Aceste cuvinte par într-adevăr să dorească amintirea secundum quid-ului scolastic şi astfel s-ar putea ca prima intenţie a frazei pe care o cităm să fi fost criticarea indirectă a expresiei infinitum secundum quid.

[9] Principes de la Philosophie, I, 26.

[10] Ibid., I, 27.

[11] Astfel Varignon, în corespondenţa lui cu Leibnitz privind calculul infinitezimal, foloseşte fără distincţie cuvintele “infinit” şi “indefinit”, ca şi cum ar fi aproape sinonime, sau ca şi cum cel puţin ar fi cumva indiferent care dintre ele este folosit în locul celuilalt, în vreme ce dimpotriva diferenţa dintre semnificaţiile lor ar fi trebuit să fie, în toate aceste discuţii, privită ca punctul esenţial.

[12] Mai trebuie atras atenţia aici asupra faptului că, aşa cum am am explicat în altă parte, că un asemenea ciclu nu este niciodată complet închis, dar pare aşa pentru cel care se plasează într-o perspectivă care nu permite întrezărirea distanţei care există realmente între extremităţile sale, la fel cum spirala unei elice cu ax vertical apare ca un cerc atunci când este proiectată pe un plan orizontal.

[13] Nu ar sluji deci la nimic să se spună că spaţiul, de exemplu, nu ar putea fi limitat decât de ceva care ar fi tot spaţiu, astfel încât spaţiul în general nu ar mai putea fi limitat de nimic. El este dimpotrivă limitat de determinarea însăşi care constituie natura sa proprie în calitate de spaţiu, şi care lasă loc, în afara lor, tuturor posibilităţilor non-spaţiale.

[14] Cf. remarca lui A. K. Coomaraswamy în privinţa conceptului platonician de “măsură”, pe care am citat-o în altă parte (Domnia cantităţii şi semnele timpului, ch. III): “ne-măsuratul” este ceea nu a fost încă definit, adică până la urmă indefinitul, şi este, în acelaşi timp şi prin aceasta însăşi, ceea ce nu este decât incomplet realizat în manifestare.