René Guénon, Capitolul II. Contradicţia “numărului infinit” (Principiile calculului infinitezimal)

Există cazuri în care este suficient, aşa cum vom vedea încă şi mai clar în cele ce urmează, să se înlocuiască ideea pretinsului infinit cu cea indefinitului pentru a face să dispară imediat orice dificultate. Dar există altele în care acest lucru nu este posibil, pentru că este vorba despre ceva determinat în mod clar, despre “finit” cumva prin ipoteză, şi care, ca atare, nu poate fi numit indefinit, conform unei observaţii pe care tocmai am făcut-o: astfel, de exemplu, se poate spune că şirul numerelor este indefinit, dar nu se poate spune că un anume număr, oricât de mare ar fi presupus şi orice loc ocupă în acest şir, este indefinit. Ideea de “număr infinit”, înţeleasă ca “cel mai mare dintre toate numerele” sau “numărul tuturor numerelor”, sau încă “numărul tuturor unităţilor”, este o idee realmente contradictorie în ea însăşi, a cărei imposibilitate ar subzista şi în cazul în care s-ar renunţa la utilizarea nejustificabilă a cuvântului “infinit”: nu se poate să existe un număr care să fie mai mare decât toate celelalte, căci, oricât de mare ar fi un număr, se poate întotdeauna forma unul mai mare decât el adăugându-i-se unitatea, conform legii de formare pe care am formulat-o mai sus. Aceasta este totuna cu a spune că şirul numerelor nu poate avea un ultim termen, şi tocmai pentru că nu este “terminat” el este realmente indefinit. Cum numărul tuturor termenilor săi nu ar putea fi decât ultimul dintre ei, se mai poate spune că nu este “numărabil”, şi aceasta este o idee asupra căreia va trebui să revenim mai amplu în cele ce urmează.

Imposibilitatea “numărului infinit” mai poate fi stabilită prin diverse argumente. Leibnitz, care cel puţin o recunoştea cu mare claritate [1], îl folosea pe cel care constă în a compara şirul numerelor pare cu cel al tuturor numerelor întregi: fiecărui număr îi corespunde un alt număr care este egal cu dublul său, astfel încât rezultă că numărul termenilor trebuie să fie acelaşi într-unul şi în celălalt. Dar, pe de altă parte, există în mod evident de două ori mai multe numere întregi decât numere pare, pentru că numerele pare se plasează din doi în doi în şirul numerelor întregi. Se ajunge astfel la o contradicţie manifestă. Se poate generaliza acest argument luându-se, în locul şirului numerelor pare, adică a multiplilor lui doi, cel al multiplilor unui număr oarecare, şi raţionamentul este identic. Se mai poate lua în acelaşi fel şirul pătratelor numerelor întregi [2], sau, mai general, cea a puterilor lor la un expozant oarecare. În toate cazurile, concluzia la care se ajunge este întotdeauna aceeaşi: un şir care nu conţine decât o parte a numerelor întregi ar trebui să aibă acelaşi număr de termeni ca şi cea care le cuprinde pe toate, ceea ce ar reveni la a spune că întregul nu ar fi mai mare decât partea sa. Şi, imediat ce se admite că există un număr al tuturor numerelor, este imposibil să se scape acestei contradicţii. Totuşi, unii au crezut că i se pot sustrage admiţând concomitent că există nişte numere dincolo de care înmulţirea cu nu anume număr sau ridicarea la o anume putere nu ar mai fi posibilă, pentru că ar da un rezultat care ar depăşi pretinsul “număr infinit”. Mai sunt şi unii care au imaginat într-adevăr numere numite “mai mari decât infinitul”, de unde teorii precum cea a “transfinitului” lui Cantor, care pot fi foarte ingenioase, dar care nu sunt mai valabile din punct de vedere logic [3] – este măcar conceptibil să se poate numi “infinit” un număr care este, dimpotrivă, atât de “finit” încât nici măcar nu este cel mai mare dintre toate? De altfel, cu asemenea teorii, ar exista numere cărora nu li s-ar mai aplica niciuna dintre regulile calculului obişnuit, adică, până la urmă, numere care nu ar fi cu adevărat numere, şi care nu ar fi numite astfel decât prin convenţie [4]. Este ceea ce se întâmplă în mod inevitabil atunci când, căutându-se conceperea “numărului infinit” altfel decât ca cel mai mare dintre numere, se imaginează diferite “numere infinite”, presupuse inegale între ele, şi cărora li se atribuie proprietăţi care nu mai au nimic în comun cu cele ale numerelor obişnuite. Astfel, se evită o contradicţie numai pentru a cădea în altele, şi, în fond, toate acestea nu sunt decât produsul “convenţionalismului” cel mai golit de sens care poate fi imaginat.

Astfel, ideea pretinsului “număr infinit”, oricum se prezintă şi prin orice nume se doreşte desemnarea ei, conţine întotdeauna nişte elemente contradictorii. De altminteri, nu este nicio nevoie de această supoziţie absurdă din momentul în care se însuşeşte o concepţie justă asupra ceea ce este realmente indefinitudinea numerelor, şi se recunoaşte în plus că numărul, în ciuda indefinitudinii sale, nu este deloc aplicabil la tot ceea ce există. Nu trebuie să insistăm aici asupra acestui din urmă punct, pe care l-am explicat deja suficient în altă parte – numărul nu este decât o modalitate a cantităţii, şi cantitatea însăşi nu este decât o categorie sau o modalitate specială a fiinţei, necoextensivă acesteia, sau, încă şi mai precis, ea nu este decât o condiţie proprie unei anume stări de existenţă în ansamblul existenţei universale. Dar tocmai acest lucru le este foarte greu de înţeles celor mai mulţi dintre moderni, obişnuiţi cum sunt să dorească reducerea tuturor lucrurilor la cantiate şi chiar evaluarea lor numerică [5]. Totuşi, în domeniul însuşi al cantităţii, există lucruri care scapă numărului, aşa cum vom vedea când vom expune subiectul continuului. Şi, chiar fără a părăsi domeniul cantităţii discontinue, oricine este forţat să admită, cel puţin implicit, că numărul nu este aplicabil la tot, atunci când se recunoaşte că multitudinea tuturor numerelor nu poate constitui un număr, ceea ce, în rest, nu este până la urmă decât o aplicaţie a acestui adevăr incontestabil că ceea ce limitează un anume nivel de posibilităţi trebuie în mod necesar să fie în afara şi dincolo de acesta [6]. Numai că trebuie să fie bine înţeles că o asemenea multitudine, considerată fie în discontinuitate, cum este cazul atunci când este vorba despre şirul numerelor, fie în continuitate, asupra căreia va trebui să revenim puţin mai încolo, nu poate în niciun fel să fie infinită, şi că nu există niciodată acolo decât indefinit. De altfel vom examina îndeaproape tocmai această noţiune de multitudine.

Note:

[1] “În ciuda calculului meu infinitezimal, scria el, nu admit un adevărat număr infinit, deşi mărturisesc că multitudinea lucrurilor depăşeşte orice număr finit, sau mai degrabă orice număr.”

[2] Este ceea ce făcea Cauchy, care atribuia de altminteri acest argument lui Galileo (Sept leçons de Physique générale, a treia lecţie).

[3] Deja, în vremea lui Leibnitz, Wallis îşi imagina nişte “spatia plus quam infinita”. Această opinie, denunţată de către Varignon ca implicând contradicţie, a fost susţinută în egală măsură de către Guido Grani în cartea lui De Infinitis infinitorum. Pe de altă parte, Jean Bernoulli, în cursul discuţiilor sale cu Leibnitz, scria: “Si dantur termini infiniti, dabitur etiam terminus infinitesimus (non dico ultimus) et qui eum sequuntur”, ceea ce, deşi nu a oferit explicaţii mai clare în această privinţă, pare să indice că admitea că ar putea exista într-o serie numerică nişte termeni “dincolo de infinit”.

[4] Nu se poate câtuşi de puţin spune că este vorba aici despre o utilizare analogică a ideii de număr, căci aceasta ar presupune o transpunere într-un alt domeniu decât cel al cantităţii, şi, dimpotrivă, la cantitate, înţeleasă în sensul ei cel mai literal, se raportează întotdeauna exclusiv toate consideraţiile de acest fel.

[5] Astfel Renouvier credea că numărul este universal aplicabil, cel puţin la nivel ideal, deci că totul este “numărabil” în sine, chiar şi atunci când suntem incapabili să “numărăm” efectiv. În egală măsură el a ratat complet sensul pe care Leibnitz îl dă noţiunii de “multitudine”, şi nu a putut înţelege niciodată în ce fel distincţia ei de număr permite evitarea contradicţiei “numărului infinit”.

[6] Am spus totuşi că un lucru particular sau determinat, oricare ar fi el, este limitat prin însăşi natura sa, car nu există aici absolut nicio contradicţie. Într-adevăr, el este limitat prin dimensiunea negativă a acestei naturi (căci, cum a zis Spinoza, “omnis determinatio negatio est”), adică în măsura în care aceasta exclude celelalte lucruri şi le lasă în afara sa, astfel încât, în definitiv, coexistenţa acestor alte lucruri limitează lucrul considerat. Din această cauză de altfel Totul universal, şi numai el, nu poate fi limitat cu nimic.