René Guénon, Capitolul VI. “Ficţiunile bine fondate” (Principiile calculului infinitezimal)

Ideea pe care Leibnitz o exprimă în modul cel mai constant, deşi nu o afirmă întotdeauna cu aceeaşi forţă, şi chiar uneori, dar excepţional, pare să nu vrea să se pronunţe în mod categoric în această privinţă, este aceea că, în fond, cantităţile infinite şi infinit de mici nu sunt dect nişte ficţiuni. Dar, adaugă el, sunt nişte “ficţiuni bine fondate”, şi, prin aceasta, el nu înţelege doar că sunt utile pentru calcul [1], sau chiar pentru a ajuta la găsirea “adevărurilor reale”, deşi i se întâmplă să insiste şi asupra acestei utilităţi. Dar repetă constant că aceste ficţiuni sunt “fondate în realitate”, că ele au “fundamentum in re”, ceea ce implică în mod evident ceva mai mult decât o valoare pur utilitară. Şi, în definitiv, această valoare însăşi trebuie, pentru el, să se explice pornind de la fundamentul pe care aceste ficţiuni îl au în realitate. În orice caz, el consideră că este suficient, pentru ca această metodă să fie sigură, să se ia în calcul, nu nişte cantităţi infinite şi infinit de mici în sensul riguros al acestor expresii, pentru că acest sens riguros nu corespunde unor realităţi, ci nişte cantităţi atât de mari sau atât de mici pe cât se doreşte, sau cât este necesar pentru ca eroarea să fie făcută mai mică decât orice cantitate dată. Ar mai trebui examinat dacă este adevărat că, aşa cum o declară, eroarea este nulă prin ea însăşi, adică dacă acest mod de a privi calculul infinitezimal îi dă un fundament perfect riguros, dar va trebui să revenim mai târziu asupra aceste probleme. Orice s-ar putea spune în privinţa acestui din urmă aspect, enunţurile în care figurează cantitaţile infinite şi infinit de mici intră pentru el în categoria aserţiunilor care, spune el, nu sunt decât “toleranter verae”, sau ceea ce s-ar numi în franceză “pasabile”, şi care au nevoie să fie “redresate” prin explicaţia care li se dă, la fel ca atunci cantităţile negative sunt considerate ca fiind “mai mici decât zero”, şi în multe alte cazuri în care limbajul geometrilor implică “un anume mod de a vorbi figurat şi criptic” [2]. Acest din urmă cuvânt ar părea să fie o aluzie la sensul simbolic şi profund al geometriei, dar acesta este cu totul altceva decât vizează Leibnitz, şi poate nu există aici, aşa cum se întâmplă adesea la el, decât amintirea vreunei cunoaşteri esoterice mai mult sau mai puţin greşit înţelese.

În ceea ce priveşte sensul în care trebuie înţeles că aceste cantităţi infinitezimale sunt nişte “ficţiuni bine fondate”, Leibnitz declară că “infiniturile şi infiniturile mici sunt atât de fondate ca tot ceea ce este în geometrie, şi chiar în natură, ca şi cum ar fi realităţi perfecte” [3]. Pentru el, într-adevăr, tot ceea ce există în natură implică într-o anumită măsură infinitul, sau cel puţin ceea ce el crede că se poate numi astfel: “Perfecţiunea analizei transcendentelor sau a geometriei în care intră un oarecare infinit, spune el, ar fi fără îndoială cea mai importantă din cauza aplicaţiei care se poate face la operaţiunilor naturii, care face să intre infinitul în tot ceea ce ea face” [4]. Dar acest lucru există poate doar pentru că, este adevărat, noi nu putem avea despre el idei adecvate, şi pentru că intră întotdeauna elemente pe care noi nu le percepem pe toate în mod distinct. Dacă aşa stau lucrurile, n-ar trebui să se ia prea literal aserţiuni precum aceasta de exemplu: “Metoda noastră fiind propriu-zis această parte a matematicii generale care tratează despre infinit, lucru de care este mare nevoie atunci când se aplică matematica în fizică, pentru că specificul Autorului infinit intră în mod obişnuit în operaţiunile naturii” [5]. Dar, dacă însuşi Leibnitz înţelege prin aceasta că complexitatea lucrurilor naturale depăşeşte incomparabil limitele percepţiei noastre distincte, nu se poate spune mai puţin că aceste cantităţi infinite şi infinit de mici trebuie să aibă “fundamentum in re”. Şi acest fundament care se găseşte în natura lucrurilor, cel puţin în modul în care ea este concepută de către el, nu este altceva decât ceea ce el numeşte “legea continuităţii”, pe care va trebui s-o examinăm puţin mai departe, şi pe care o priveşte, pe nedrept sau pe drept, ca nefiind până la urmă decât un caz particular al unei anume “legi a justiţiei”, care ea însăşi ţine în definitiv de ordine şi de armonie, şi care-şi găseşte aplicaţia de fiecare dată când o anumită trebuie respectată o anumită simetrie, aşa cum se întâmplă de exemplu în combinatii şi permutări.

Acum, dacă aceste cantităţi infinite şi infinit de mici nu sunt decât nişte ficţiuni, şi chiar admiţând că acestea sunt realmente “bine fondate”, s-ar putea pune următoarea întrebare: de ce să se folosească asemenea expresii, care, chiar dacă pot fi considerate drept “toleranter verae”, nu sunt mai puţin incorecte? Există aici ceva care prezice deja, s-ar putea spune, “convenţionalismul” ştiinţei actuale, deşi cu notabila diferenţă că acesta nu se mai preocupă câtuşi de puţin de a şti dacă ficţiunile la care a recurs sunt fondate sau nu, sau, conform unei alte expresii a lui Leibnitz, dacă ele pot fi interpretate “sano sensu”, nici măcar dacă ele au o semnificaţie oarecare. De vreme ce se poate de altminteri renunţa la aceste cantităţi fictive, şi să se ia în calcul în locul lor nişte cantităţi care pot fi pur şi simplu făcute atât de mari şi atât de mici pe cât se doreşte, şi care, din acest motiv, pot fi numite indefinit de mari şi indefinit de mici, ar fi fost fără îndoială cu mult mai bine să se înceapă de aici, evitându-se astfel să se introducă nişte ficţiuni care, orice “fundamentum in re” ar putea de altminteri să aibă, nu sunt până la urmă de nicio utilizare efectivă, nu numai pentru calcul, ci pentru metoda infinitezimală însăşi. Expressile de “indefinit de mare” şi de “indefinit de mic”, sau, lucru care până la urmă este acelaşi, dar este poate şi mai precis, de “indefinit crescător” şi “indefinit descrescător”, nu au doar avantajul de a fi singurele care să fie riguros exacte. Ele mai au şi acela de a arăta cu claritate că aceste cantităţi cărora se aplică nu pot fi decât nişte cantităţi variabile şi nedeterminate. Aşa cum a spus pe bună dreptate un matematician, “infinit de mic nu este o cantitate foarte mică, având o valoare actuală, susceptibilă de determinare; caracterul să este de a fi eminamente variabil şi de a putea lua o valoare mai mică decât toate cele care s-ar dori să se precizeze; ar fi mult mai bine să fie numit indefinit de mic” [6].

Folosirea acestor termeni ar fi evitat multe dintre dificultăţi şi multe discuţii, şi nu este nimic uimitor în aceasta, căci nu este o simplă chestiune de cuvinte, ci înlocuirea unei idei false printr-o idee corectă, a unei ficţiuni printr-o realitate. Nu ar fi fost posibilă, mai cu seamă, să se creadă despre cantităţile infinitezimale că sunt cantităţi fixe şi determinate, căci cuvântul “indefinit” conţine întotdeauna prin el însuşi o idee de “devenire”, aşa cum spuneam mai spus, şi în consecinţă de schimbare sau, atunci când este vorba de cantităţi, de variaţie. Şi, dacă Leibnitz l-ar fi utilizat în mod obişnuit, fără îndoială că nu s-ar fi lăsat antrenat aşa uşor în supărătoarea comparaţie cu firul de nisip. Pe deasupra, reducerea lui “infinite parva ad indefinite parva” ar fi fost în orice caz mai clară decât decât reducerea reducerea lor “ad incomparabiliter parva”. Precizia ar fi câştigat din asta, fără ca exactitatea să fi pierdut ceva, ba chiar dimpotrivă. Cantităţile infinitezimale sunt în mod clar “incomparabile” în raport cu cantităţile obişnuite, dar acest lucru s-ar putea înţelege în mai multe feluri, şi a fost efectiv înţeles destul de des în alte sensuri decât în cel care ar fi trebuit. Este mai bine să se spună că sunt “inasignabile”, conform unei alte expresii a lui Leibnitz, căci acest termen pare să nu poate fi înţeles în mod riguros decât în raport cu cantităţi care sunt susceptibile să devină atât de mici pe cât se doreşte, adică mai mici decât orice cantitate dată, şi căreia nu i se poate “asigna”, în consecinţă, nicio valoare determinată, oricât de mică ar fi ea, şi într-adevăr acesta este sensul cuprins în “indefinite parva”. Din nefericire, este aproape imposibil să se ştie dacă, în gândirea lui Leibnitz, “incomparabil” şi “inasignabil” sunt într-adevăr şi complet sinonime. Dar, în orice caz, este cel puţin sigur că o cantitate propriu-zis “inasignabilă”, datorită posibilităţii de descreştere indefinită pe care o comportă, este prin acest lucru însuşi “incomparabilă” cu orice cantitate dată, şi chiar, pentru a extinde această idee la diferitele niveluri infinitezimale, cu orice cantitate în raport cu care poate descreşte indefinit, în vreme ce această aceeaşi cantitate este privită ca posedând o fixitate cel puţin relativă.

Dacă există un punct asupra căruia toată lumea poate până la urmă să se pună cu uşurinţă de acord, chiar fără să aprofundeze mai mult chestiunile de principiu, este acela că noţiunea de indefinit de mic, din punct de vedere pur matematic cel puţin, este îndeajuns de suficientă pentru analiza infinitezimală, şi “infinitiştii” înşişi o recunosc fără mare dificultate [7]. În această privinţă se poate respecta o definiţie ca cea a lui Carnot: “Ce este o cantitate numită infinit de mică în matematică? Nimic altceva decât o cantitate care poate fi făcută pe cât de mică se doreşte, fără a fi obligaţi pentru aceasta de a recurge la varierea celor cu care se caută relaţionarea.” [8] Dar, asupra semnificaţiei veritabile a cantităţilor infinitezimale, toată problema nu se limitează aici, pentru că prea puţin contează, pentru calcul, dacă infiniturile mici nu sunt decât nişte ficţiuni, de vreme ce oricine se poate mulţumi cu cu luarea în consideraţie a indefiniturilor mici, care nu ridică nicio dificultate logică. Şi de altminteri, având în vedere că, pentru motivele metafizice pe care le-am expus la început, nu putem admite ideea unui infinit cantitativ, fie el infinit de măreţie sau de micime [9], nici a vreunui infinit de un nivel determinat şi relativ oarecare, este foarte sigur că acestes nu pot fi într-adevăr decât ficţiuni şi nimic altceva. Dar, dacă aceste ficţiuni au fost introduse, din greşeală sau motivat, la originea calcului infinitezimal, este pentru că, în intenţia lui Leibnitz, ele trebuiau totuşi să corespundă la ceva, oricât de defectuos ar fi modul în care ele îl exprimau. Devreme ce noi ne ocupăm aici de principii, şi nu de un procedeu de calcul redus oarecum la el însuşi, lucru care ar fi fără interes pentru noi, trebuie deci să ne întrebăm care este până la urmă valoarea acestor ficţiuni, nu doar din punct de vedere logic, dar şi din punct de vedere ontologic, dacă ele sunt atât de “bine fondate” pe cât credea Leibnitz, şi dacă putem spune împreună cu el că ele sunt “toleranter verae” şi să le acceptăm cel puţin ca atare, “modo sano sensu intelligantur”. Pentru a răspunde la aceste întrebări, va trebui să examinăm îndeaproape concepţia sa asupra “legii continuităţii”, deoarece în aceasta considera el că găseşte “fundamentum in re” al infiniturilor mici.


Note:

[1] Carnot a găsit în considerarea utilităţii practice o justificare suficientă. Este evident că, de la Leibnitz la el, tendinţa “pragmatistă” a ştiinţei moderne se accentuase deja foarte mult.

[2] Memoriu deja citat, în Acto Eruditorum din Leipzig, 1712.

[3] Scrisoare deja citată lui Varignon, 2 februarie 1702.

[4] Scrisoare marchizului de l’Hospital, 1693.

[5] Considérations sur la différence qu’il y a entre l’Analyse ordinaire et le nouveau Calcul des transcendantes, în Journal des Sçavans, 1694.

[6] Ch. De Freycinet, De l’Analyse infinitésimale, paginile 21-22. Autorul adaugă: “Dar prima denumire [cea de infinit de mic] dobândind o mai mare trecere în limbaj, am crezut că trebuie s-o păstrăm.” Cu certitudine acesta este un scrupul excesiv, căci uzajul nu poate fi suficient pentru a justifica incorectitudinile şi nepotrivirile limbajului, şi, dacă nimeni nu ar îndrăzni niciodată să se ridice împotriva abuzurilor de acest tip, nu s-ar mai putea introduce în termeni mai multă exactitate şi precizie decât există deja în folosirea lor curentă.

[7] A se vedea mai cu seamă L. Couturat, De l’infini mathématique, p. 265: “Se poate constitui în mod logic calculul infinitezimal pe sigura noţiune de indefinit...”. Este adevărat că folosirea sintagmei “în mod logic” implică aici o rezervă, căci, pentru autor, ea se opune la “în mod raţional”, ceea ce este în rest o terminologie destul de ciudată. Mărturisirea nu este mai puţin interesantă de reţinut.

[8] Réflexions sur la Métaphysique du Calcul infinitésimal, p. 7, note. Cf. ibid., p. 30. Titlul acestei lucrări este foarte puţin justificat, căci, în realitate, nu se găseşte în ea nici cea mai mică idee de nivel metafizic.

[9] Prea celebra concepţie a celor “două infinituri” a lui Pascal este din punct de vedere metafizic absurdă, şi ea nu este decât rezultatul unei confuzii dintre infinit şi indefinit, acesta fiind luat în cele două sensuri opuse de mărimi crescătoare şi descrescătoare.