René Guénon, Capitolul IV. Măsurarea continuului (Principiile calculului infinitezimal)

Până aici, atunci când am vorbit despre număr, am avut în vedere în exclusivitate numărul întreg, şi trebuia în mod logic să fie aşa, având în vedere că priveam cantitatea numerică astfel ca o cantitate discontinuă. În şirul numerelor întregi, există întotdeauna, între doi termeni consecutivi, un interval perfect definit, care este marcat prin diferenţa de o unitate existând între cele două numere, şi care, atâta vreme cât se iau în considerare doar numerele întregi, nu poate fi redus în niciun fel. De altminteri, în realitate, numărul întreg singur este numărul veritabil, ceea ce s-ar putea numi numărul pur. Şi seria numerelor întregi, plecând de la univate, merge crescând indefinit, fără ca vreodată să ajungă la un ultim termen a cărui supoziţie, aşa cum am văzut-o, este contradictorie. Dar este de la sine înţeles că el se desfăşoară în întregime într-un singur sens, şi astfel celălalt sens opus, care ar fi cel al descreşterii indefinite, nu poate să-şi găsească aici reprezentarea, deşi dintr-un alt punct de vedere există, aşa cum vom arăta mai departe, o anume corelaţie şi un fel de simetrie între cantităţile indefinit crescătoare şi cantităţile indefinit descrescătoare. Totuşi, nu s-a rămas aici, şi s-a ajuns la luarea în consideraţie a diverselor tipuri de numere, altele decât numerele întregi. Acestea sunt, se spune de obicei, extensii sau generalizări ale ideii de număr, şi acest lucru este adevărat într-un anume fel. Dar, în acelaşi timp, aceste extensii sunt de asemenea alterări ale ideii de număr, şi matematicienii moderni par să uite aceasta prea uşor, deoarece “convenţionalismul” lor i-a făcut să se înşele asupra originii şi raţiunii sale de a fi. De fapt, numerele altele decât numerele întregi se prezintă întotdeauna, înainte de toate, ca figurarea rezultatului unor operaţiuni care sunt imposibile câtă vreme se rămâne în aritmetica pură, aceasta nefiind în mod riguros decât aritmetica unor numere întregi. Astfel, de exemplu, un număr fracţionar nu este altceva decât reprezentarea rezultatului unei împărţiri care nu se efectuează în mod exact, adică în realitate a unei împărţiri care trebuie considerată aritmetic imposibilă, ceea ce se recunoaşte de altfel implicit atunci când se spune, conform terminologiei matematice obişnuite, că unul dintre cei doi termeni nu este divizibil prin celălalt. Trebuie remarcat încă de acum că definiţia care se dă în mod obişnuit numerelor fracţionare este absurdă, pentru că fracţiile nu pot nicicum să fie “părţi ale unităţii”, cum se spune, căci unitatea aritmetică veritabilă este în mod necesar indivizibilă şi fără părţi. Şi de altfel din aceasta rezultă discontinuitatea esenţială a numărului care este format pornind de la ea. Dar vom vedea imediat de unde provine această absurditate.

Într-adevăr, nu arbitrar se ajunge la a se considera astfel rezultatul operaţiunilor despre care tocmai am vorbit, în loc de a fi privite ca fiind pur şi simplu imposibile. În linii mari, aceasta este consecinţa aplicaţiei care este făcută cu numărul, cantitate discontinuă, la măsurarea mărimilor care, ca mărimile spaţiale de exemplu, sunt de ordinul cantităţii continue. Între aceste moduri ale cantităţii, există o asemenea diferenţă de natură încât corespondenţa de la unul la celălalt nu ar putea să se stabilească perfect. Pentru a se remedia aceasta până la un anume punct, şi atât cât este posibil, se caută reducerea cumva a intervalelor acestui discontinuu care este constituit din seria numerelor întregi, introducându-se între termenii săi alte numere, şi întâi de toate numerele fracţionare, care nu ar avea niciun sens în afara acestei aplicaţii. Este imediat uşor de înţeles că absurditatea pe care o semnalam adineaori, în ceea ce priveşte definirea fracţiilor, provine doar dintr-o confuzie între unitatea aritmetică şi ceea ce se numeşte “ unităţile de măsură”, unităţi care nu există ca atare decât în mod convenţional, şi care sunt în realitate nişte mărimi de altă natură decât numărul, mai ales mărimile geometrice. Unitatea de lungime, de exemplu, nu este decât o anume lungime aleasă pentru motive străine aritmeticii, şi căreia i s-a dat drept corespondent numărul 1 în scopul măsurării în raport cu ea a tuturor celorlalte lungimi. Dar, prin natura sa însăşi de mărime continuă, orice lungime, fie ea şi reprezentată astfel numeric prin unitate, nu este mai puţin şi în mod indefinit divizibilă. Se va putea deci, comparându-se cu ea alte lungimi care nu vor fi multiplii ei exacţi, să se ia în calcul părţi ale acestei unităţi de măsură, dar care nu vor fi câtuşi de puţin părţi ale unităţii aritmetice. Şi numai aşa se introduce realmente ideea de numere fracţionare, ca reprezentări de rapoarte între mărimi care nu sunt exact divizibile unele prin altele. Măsura unei mărimi nu este într-adevăr alt lucru decât expresia numerică a raportului său cu o altă mărime de acelaşi fel luată drept unitate de măsură, adică în fond ca termen de comparaţie. Şi din această cauză metoda obişnuită de măsură a mărimilor geometrice este în mod esenţial bazată pe împărţire.

Trebuie spus de altfel că, în ciuda acestei situaţii, subzistă întotdeauna inevitabil ceva din natura discontinuă a numărului, care nu permite să se obţină astfel un echivalent perfect al continuului. Se pot reduce intervalele atâta cât se doreşte, adică până la urmă pot fi reduse indefinit, făcându-se mai mici decât orice cantitate dată anterior, dar nu se va ajunge niciodată la suprimarea lor definitivă. Pentru a se înţelege mai bine, vom lua exemplul cel mai simplu al unui continuu geometric, adică o linie dreaptă. Vom considera o semidreaptă care se întinde în mod indefinit într-o anume direcţie [1], şi vom conveni să facem să corespundă fiecăruia dintre punctele sale numărul care exprimă distanţa dintre acel punct la origine. Aceasta va fi reprezentată prin zero, distanţa sa în raport cu sine fiind evident nulă. Plecând de la această origine, numerele întregi vor corespunde extremităţilor succesive de segmente toate egale între ele şi egale unităţii de lungime. Punctele cuprinse între acestea nu vor putea fi reprezentate decât prin numere fracţionare, pentru că distanţele lor de la origine nu sunt nişte multipli exacţi ai unităţii de lungime. Este de la sine înţeles că, pe măsură ce se vor lua numere fracţionare ale căror numitor va fi din ce în ce mai mare, intervalele dintre punctele cărora le vor corespunde acestor numere vor fi reduse în aceeaşi proporţie. Aceste intervale pot descreşte indefinit, cel puţin teoretic, pentru că numitorii numerelor fracţionare posibile sunt cu toţii numere întregi, a căror şir creşte indefinit [2]. Spunem teoretic, pentru că, de fapt, multitudinea numerelor fracţionare fiind indefinită, nu se va putea ajunge niciodată la utilizarea ei integrală. Dar să presupunem totuşi că se stabileşte o corespondenţă ideală între toate numerele fracţionare posibile şi punctele semidreptei considerate. În ciuda descreşterii indefinite a intervalelor, va mai rămâne pe această linie o multitudine de puncte cărora nu-i va corespunde niciun număr. Acest lucru poate părea ciudat şi chiar paradoxal la prima vedere, şi totuşi este uşor de înţeles, căci un asemenea punct poate fi obţinut prin intermediul unei construcţii geometrice foarte simple: să construim pătratul având ca latură segmentul de dreaptă ale cărui extremităţi sunt punctele zero şi 1, şi să trasăm pe aceea dintre diagonalele acestui pătrat care pleacă din origine, apui circumferinţa având originea drept centru şi diagonala aceasta drept rază. Punctul în care circumferinţa taie semidreapta nu va putea fi reprezentat prin niciun număr întreg sau fracţionar, pentru că distanţa sa de la origine este egală cu diagonala pătratului şi aceasta este incomensurabilă în raport cu latura sa, adică aici cu unitatea de lungime. Astfel, multitudinea numerelor fracţionare, în ciuda descreşterii indefinite a diferenţelor lor, nu poate fi suficientă pentru a umple, dacă se poate spune aşa, intervalele dintre punctele conţinute în linie [3], ceea ce revine la a spune că această multitudine nu este un echivalent real şi adecvat conţinutului linear. Deci apare necesitatea, pentru a exprima măsura anumitor lungimi, să se introducă şi alte feluri de numere, care sunt ceea ce se numeşte numerele incomensurabile, adică cele care nu au comună măsură cu unitatea. Aşa sunt numerele iraţionale, adică cele care reprezintă rezultatul unei extrageri de rădăcină aritmetic imposibilă, de exemplu rădăcina pătrată a unui număr care nu este un pătrat perfect. Astfel, în exemplul precedent, raportul dintre diagonala pătratului şi latura sa, şi prin urmare punctul a cărui distanţă de la origine este egală cu această diagonală, nu pot fi reprezentate decât prin numărul iraţional “radical din 2”, care este într-adevăr incomensurabil, căci nu există niciun număr întreg sau fracţionar al cărui pătrat să fie egal cu 2. Şi, în afara numerelor iraţionale, mai există şi alte numere incomensurabile a căror origine geometrică este evidentă, ca, de exemplu, numărul π care reprezintă raportul dintre circumferinţă şi diametrul ei.

Fără să se mai intre în chestiunea “compoziţiei continuului”, se vede deci că numărul, orice extensie se dă noţiunii sale, nu-i este niciodată perfect aplicabil. Această aplicaţie revine până la urmă întotdeauna la a înlocui continuului printr-un discontinuu ale cărui intervale pot fi foarte mici, şi chiar să devină din ce în ce mai mici printr-o serie indefinită de divizări succesive, dar fără ca vreodată să poată fi suprimate, căci, în realitate, nu există “ultimele elemente” la care aceste diviziuni să poată ajunge, o cantitate continuă, oricât de mică ar fi ea, rămânând întotdeauna indefinit divizibilă. La aceste divizări ale continuului corespunde ideea numerelor fracţionare. Dar, şi acest lucru trebuie remarcat îndeosebi, o fracţie, oricât de infimă ar fi, este întotdeauna o cantitate determinată, şi între două fracţii, oricât de puţin diferite una de cealaltă ar fi presupuse, există întotdeauna un interval determinat. Or proprietatea divizibilităţii indefinite care caracterizează mărimile contiue cere evident în mod imperios să se poată întotdeauna lua din ele elemente atât de mici pe cât se vrea, şi ca intervalele care există între aceste elemente să poată şi ele să fie făcute mai mici decât orice cantitate dată. Dar în schimb, şi aici apare insuficienţa numerelor fracţionare, şi noi putem chiar spune a oricărui număr de orice fel, aceste elemente şi aceste intervale, pentru ca să existe realmente continuitate, nu trebuie să fie concepute ca ceva determinat. Ca urmare, reprezentarea cea mai perfectă a cantităţii continue va fi obţinută prin luarea în consideraţie a mărimilor, nu fixe şi determinate ca cele despre care tocmai am vorbit, ci dimpotrivă variabile, pentru că atunci variaţia lor va putea ea însăşi să fie privită ca efectuându-se într-un mod continuu. Şi aceste cantităţi vor trebui să fie susceptibile de descreştere indefinită, prin variaţia lor, fără ca vreodată să anuleze nici să parvină la un “minim”, care nu ar fi mai puţin contradictoriu decât “ultimele elemente” ale continuului. Tocmai aceasta este, aşa cum vom vedea, adevărata noţiune de cantităţi infinitezimale.

Note:

[1] Se va vedea în cele ce urmează, în legătură cu reprezentarea geometrică a numerelor negative, dece nu trebuie să luăm aici în considerare decât o semidreaptă. În rest, faptul că seria numerelor nu se desfăşoară decât într-un singur sens, aşa cum o spuneam mai sus, este deja suficientă pentru a indica raţiunea alegerii.

[2] Acest lucru va fi precizat atunci când vom vorbi despre numere inverse.

[3] Este important să se remarce că nu spunem punctele care compun sau care constituie linia, lucru care ar fi semnul unei concepţii false a continuului, aşa cum o vor arăta consideraţiile pe care le vom expune mai departe.