René Guénon, Capitolul V. Chestiuni ridicate de metoda infinitezimală (Principiile calculului infinitezimal)

Atunci când Leibnitz dădu primul expozeu al metodei infinitezimale [1], şi chiar încă în mai multe alte lucrări care urmară [2], insistă mai ales pe utilizările şi aplicaţiile noului calcul, fapt care era destul de conform cu tendinţa modernă la atribuirea unei mai mari importanţe pentru aplicaţiile practice ale ştiinţei decât ştiinţei înseşi ca atare. Ar fi de altfel dificil de spus dacă această tendinţă exista realmente la Leibnitz, sau nu era, în acest mod de a-şi prezenta metoda, decât un fel de concesie din partea lui. Oricum ar sta lucrurile, desigur nu este suficient, pentru a justifica o metodă, să se arate avantajele pe care ea le poate avea asupra altor metode admise anterior, şi confortul pe care-l poate furniza în mod practic pentru calcul, nici chiar rezultatele pe care le-a putut da în fapt. Este ceea ce adversarii metodei infinitezimale nu uitară să scoată în evidenţă, şi numai obiecţiile lor îl deciseră pe Leibnitz să explice principiile, şi chiar originile metodei sale. În ceea ce priveşte acest din urmă punct, este de altfel foarte posibil ca el să nu fi spus niciodată totul, dar acest lucru puţin contează în fond, căci, foarte des, cauzele ocazionale ale unei descoperiri nu sunt decât nişte circumstanţe destul de insignifiante în ele însele. În orice caz, tot ce este interesant de reţinut pentru noi în indicaţiile pe care le dă asupra acestui subiect [3], este că a plecat de la analiza diferenţelor “asignabile” care există între numere, pentru a ajunge de acolo la diferenţele “inasignabile” care pot fi concepute între mărimi geometrice în virtutea continuităţii lor, şi că atribuia chiar acestei categorii o mare importanţă, ca fiind cumva “impusă de natura lucrurilor”. Rezultă de aici că, pentru el, cantităţile infinitezimale nu ni se prezintă natural în mod imediat, ci doar ca un rezultat al trecerii de la variaţia cantităţii discontinue la cea a cantităţii continue, şi de la aplicaţia primei la măsura celei de-a doua.

Acum, care este exact semnificaţia acestor cantităţi infinitezimale în legătură cu care i s-a reproşat lui Leibnitz că le foloseşte fără să fi definit în prealabil ce înţelege prin ele, şi această semnificaţie îi permitea să-şi considere calculul ca fiind absolut riguros, sau doar, dimpotrivă, ca pe o simplă metodă de aproximaţie? A răspunde la aceste două întrebări, ar însemna rezolvarea prin aceasta însăşi a obiecţiilor cele mai importante care i-au fost adresate. Dar, din nefericire, nu a făcut-o niciodată prea clar, şi chiar diversele sale răspunsuri nu par întotdeauna perfect conciliabile între ele. În această privinţă, este bine să se remarce că Leibnitz avea obiceiul, în general, să explice diferit aceleaşi lucruri în funcţie persoanele la care se adresa. Cu siguranţă nu noi îi vom reproşa acest mod de a acţiona, iritant doar pentru spiritele sistematice, căci, în principiu, el nu făcea în asta decât să se conformeze principiul iniţiat şi mai ales rozicrucian, conform căruia este bine să se vorbească fiecăruia în limbajul său. Doar că i se întâmpla uneori să-l aplice destul de rău. Într-adevăr, dacă este evident posibil să se îmbrace un acelaşi adevăr cu diferite expresii, bineînţeles că aceasta trebuie să se facă fără ca vreodată să fie deformat sau micşorat, şi trebuie întotdeauna să se evite cu grijă orice mod de a vorbi care ar putea genera concepţii false. Şi acest lucru Leibnitz nu a ştiut să-l facă în multe cazuri [4]. Astfel, el împinge “acomodarea” până la a părea să dea dreptate celor care n-au vrut să vadă în calculul său decât o metodă de aproximare, căci i se întâmplă să-l prezinte ca nefiind altceva decât un fel de prescurtare a “metodei de exhaustare” a celor din vechime, capabilă să uşureze descoperirile, dar ale cărei rezultate trebuie apoi să fie verificate prin această metodă dacă se doreşte conferirea unei demonstraţii riguroase. Şi totuşi este foarte sigur că nu gândea aşa ceva, şi că, în realitate, vedea în el mai mult decât un simplu expedient destinat la prescurtarea calculelor.

Leibnitz declară frecvent că ceea ce se numeşte cantităţi infinitezimale nu sunt decât nişte “incomparabile”, dar, în privinţa sensului precis în care acest cuvânt trebuie să fie înţeles, i s-a întâmplat să dea o explicaţie nu numai puţin satisfăcătoare, dar chiar foarte regretabilă, căci ea nu putea decât să furnizeze arme adversarilor săi, care de altfel nu ratară ocazia să se servească de ele. Şi aici, este sigur că nu şi-a exprimat adevărata gândire, şi putem să vedem în această situaţie un alt exemplu, încă şi mai grav decât cel precedent, al aceste “acomodări” excesive care substituie puncte de vedere eronate unei expresii “adaptate” adevărului. Într-adevăr, Leibnitz scrise următoarele: “Nu este nevoie să fie considerat aici infinitul în sensul lui riguros, ci doar ca atunci când se spune în optică faptul că razele soarelui vin dintr-un punct infinit de îndepărtat şi astfel sunt considerate paralele. Şi atunci când există mai multe niveluri de infinit sau de infinit de mic, este ca globul pământului care este considerat un punct în raport cu distanţa dintre [punctele] fixe, şi un bulgăre pe care-l mânuim este un punct în comparaţie cu semi-diametrul globului pământului, astfel încât distanţa dintre [punctele] fixe este ca un infinit al infinitului în raport cu diametrul bulgărelui. Căci în locul infinitului sau al infinitului de mic, se iau nişte cantităţi atât de mari şi atât de mici cât trebuie pentru ca eroarea să fie mai mică decât eroarea dată, astfel încât nu există diferenţă faţă de stilul lui Arhimede decât în expresiile care sunt mai directe în metoda noastră, şi mai conforme cu arta inventării.” [5] Nu s-a pierdut ocazia să i se spună lui Leibnitz că, oricât de mic ar fi globul pământului în raport cu firmamentul, sau un grăunte de nisip în raport cu globul pământului, acestea nu sunt mai puţin nişte cantităţi fixe şi determinate, şi că, dacă una dintre aceste cantităţi poate fi privită ca practic neglijabilă în raport cu cealaltă, aceasta nu este totuşi decât o simplă aproximaţie. El răspunse vă voise doar “să evite subtilităţile” şi “să facă raţionamentul accesibil tuturor” [6], ceea ce confirmă într-adevăr interpretarea noastră, şi ceea ce, pe deasupra, este deja un fel de manifestare a tendinţei “vulgarizatoare” a savanţilor moderni. Ceea ce este destul de extraordinar e faptul că a putut scrie mai apoi: “Cel puţin nu era acolo cel mai mic indiciu care ar fi trebuit să conducă la ideea că înţelegeam o cantitate foarte mică, dar întotdeauna fixă şi determinată”, după care adaugă: “În rest, scrisese deja în urmă cu câţiva ani domnului Bernoulli din Groningue que infiniturile şi conceptul de infinit de mic ar putea fi considerate drept nişte ficţiuni, asemănătoare rădăcinilor imaginare [7], fără ca aceasta să dăuneze calculului nostru, aceste ficţiuni fiind utile şi fondate în realitate.” [8] De altfel, se pare realmente că nu a văzut niciodată exact în ce fel comparaţia de care se servise era greşită, căci o mai reia în aceiaşi termeni vreo zece ani mai târziu [9]. Dar, având în vedere cel puţin că declară răspicat că intenţia lui nu a fost să prezinte cantităţile infinitezimale ca determinate, trebuie să concluzionăm că, pentru el, sensul acestei comparaţii se reduce la aceasta: o grăunţă de nisip, deşi nu este infinit de mică, poate totuşi, fără inconvenient apreciabil, să fie considerată ca atare în raport cu pământul, şi astfel nu este nevoie să se considere ceva infinit de mic “în mod riguros”, încât se poate chiar, dacă se doreşte, să fie privit ca o ficţiune. Dar, fiecare să înţeleagă cum va voi, o asemenea formulare nu este mai puţin categoric incapabilă de a da despre calculul infinitezimal o altă idee decât aceea, clar insuficientă în ochii lui Leibnitz însuşi, a unui simplu calcul de aproximare.

Note:

[1] Nova Methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quæ nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus, în Acta Eruditorum de Leipzig, 1684.

[2] De Geometria recondita et Analysi indivisibilium atque infinitorum, 1686. – Lucrările următoare ţin toate de soluţia problemelor particulare.

[3] Mai întâi în corespondenţa lui, şi apoi în Historia et origo Calculi differentialis, 1714.

[4] În limbaj rozicrucian, s-ar spune că aceasta, la fel şi chiar mai mult decât eşecul proiectelor sale de “characteristica universalis”, dovedeşte că, dacă avea o idee teoretică privind ceea ce este “darul limbilor”, era totuşi departe de a-l fi primit efectiv.

[5] Mémoire de M. G. C. Leibnitz touchant son sentiment sur le Calcul différentiel, în Journal de Trévoux, 1701.

[6] Scrisoare lui Varignon, 2 februarie 1702.

[7] Rădăcinile imaginare sunt rădăcinile numerelor negative. Vom vorbi mai despre chestiunea numerelor negative şi despre dificultăţile logice pe care le prilejuieşte.

[8] Scrisoare lui Varignon, 14 aprilie 1702.

[9] Memoriu deja citat mai sus, în Acta Eruditorum de la Leipzig, 1712.